Định nghĩa

Cho một không gian xác suất ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} ,một quá trình ngẫu nhiên với không gian trạng thái X là một tập hợp của các biến ngẫu nhiên với giá trị trong X được đánh số thứ tự bởi một tập hợp T ("thời gian"). Nghĩa là, một quá trình ngẫu nhiên F là một tập hợp

{ F t : t ∈ T } {\displaystyle \{F_{t}:t\in T\}}

với mỗi F t {\displaystyle F_{t}} là một biến ngẫu nhiên có giá trị trong X.

Một cải tiến G của quá trình F là một quá trình ngẫu nhiên trên cùng một không gian trạng thái, với cùng tập hợp tham số T sao cho

P ( F t = G t ) = 1 ∀ t ∈ T {\displaystyle P(F_{t}=G_{t})=1\qquad \forall t\in T} .

Các phân bố hữu hạn chiều

Cho một quá trình ngẫu nhiên F với giá trị nằm trong X. Với bất cứ tập con hữu hạn T ′ ⊆ T {\displaystyle T'\subseteq T} , chúng ta có thể viết T ′ = { t 1 , … , t k } {\displaystyle T'=\{t_{1},\ldots ,t_{k}\}} , với k = # T ′ {\displaystyle k=\#T'} và giới hạn F | T ′ = ( F t 1 , F t 2 , … , F t k ) {\displaystyle F|_{T'}=(F_{t_{1}},F_{t_{2}},\ldots ,F_{t_{k}})} là một biến ngẫu nhiên có giá trị ở trong X # T ′ {\displaystyle X^{\#T'}} . Phân bố P T ′ = P F | T ′ − 1 {\displaystyle \mathbb {P} _{T'}=\mathbb {P} F|_{T'}^{-1}} của biến ngẫu nhiên này là một độ đo xác suất trên X # T ′ {\displaystyle X^{\#T^{\prime }}} .Những biến ngẫu nhiên này được gọi là phân bố hữu hạn chiều của F.

Dưới những giới hạn tôpô thích hợp, một tập thích hợp của các phân bố hữu hạn chiều có thể được sử dụng để định nghĩa một quá trình ngẫu nhiên (xem mở rộng Kolmogorov trong mục kế tiếp).